Упр.622 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg}^2 x=2$$
2. $$\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}x$$
3. $$\operatorname{tg}^2x-3\operatorname{tg}x-4=0$$
4. $$\operatorname{tg}^2x-\operatorname{tg}x+1=0$$

1. Пусть $$\tg x = t.$$ Тогда получаем:

   $$t^2=2.$$

   Следовательно,

   $$t=\pm\sqrt{2},$$

   откуда

   $$x=\pm\arctg\sqrt{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. Преобразуем уравнение:

   $$\tg x=\ctg x=\frac{1}{\tg x}.$$

   Тогда

   $$\tg^2 x=1,$$

   значит,

   $$\tg x=\pm 1.$$

   Отсюда

   $$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. Пусть $$\tg x=t.$$ Тогда:

   $$t^2-3t-4=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t+1\right)\left(t-4\right)=0.$$

   Отсюда

   $$t=-1 \quad \text{или} \quad t=4.$$

   Значит,

   $$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. Пусть $$\tg x=t.$$ Тогда получаем:

   $$t^2-t+1=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0.$$

   Следовательно, действительных корней нет, значит, исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: 1) $$x=\pm\arctg\sqrt{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 2) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=\arctg 4+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 4) решений нет.