Упр.620 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение (620—644).
1) $$\sin2x=\frac{1}{4}$$;
2) $$\cos2x=\frac{1}{2}$$;
3) $$2xin2x+\sin x-1=0$$;
4) $$2\cos2x+\cos-6=0$$.
1) $$\sin^2 x=\frac14$$
Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$ Тогда
$$\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac14$$
$$1-\cos 2x=\frac12$$
$$\cos 2x=\frac12.$$
Отсюда
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos^2 x=\frac12$$
Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$ Тогда
$$\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac12$$
$$1+\cos 2x=1$$
$$\cos 2x=0.$$
Следовательно,
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
и потому
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$
Положим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение
$$2y^2+y-1=0.$$
Найдём корни:
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$
Отсюда
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac12.$$
Значит,
$$\sin x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$\sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$2\cos^2 x+\cos x-6=0$$
Положим $$y=\cos x.$$ Тогда
$$2y^2+y-6=0.$$
Найдём корни:
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{4}.$$
Получаем
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac32.$$
Но $$\cos x\in[-1;1],$$ поэтому оба значения невозможны. Следовательно, решений нет.
Ответ: 1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; 3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 4) решений нет.
