Упр.618 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что при любом действительном значении $$a$$ справедливо равенство $$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$$.

Так как $$\arctg a \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то для этого угла косинус положителен.

Используем тождество

$$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Тогда

$$\cos^2 x=\frac{1}{1+\tg^2 x},$$

и, учитывая, что $$\cos x>0,$$ получаем

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}.$$

Подставим $$x=\arctg a$$. Так как $$\tg(\arctg a)=a,$$ имеем

$$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2(\arctg a)}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Следовательно, равенство верно при любом действительном значении $$a$$.

Ответ

$$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$