Упр.618 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 618 Доказать, что при любом действительном значении а справедливо равенство cos (arctg а) = 1/ корень (1+a2).

Пусть $$x=\arctg a.$$ Тогда $$\tg x=a$$ и, так как $$\arctg a\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ имеем $$\cos x>0.$$

Используем тождество

$$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Тогда

$$\cos^2 x=\frac{1}{1+\tg^2 x}.$$

Так как $$\cos x>0,$$ то

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}.$$

Подставляя $$x=\arctg a,$$ получаем

$$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2(\arctg a)}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$