Упр.616 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} a)=a$$ при $$-\frac{\pi}{2}

По определению арктангенса $$\operatorname{arctg} a = x,$$ если $$\tg x = a$$ и $$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.$$

Значит, при $$-\frac{\pi}{2} < a < \frac{\pi}{2}$$ выполняется равенство

$$\operatorname{arctg}(\tg a)=a.$$

Ответ

1. $$3\operatorname{arctg}\left(\tg \frac{\pi}{7}\right)=3\cdot \frac{\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}.$$
2. $$4\operatorname{arctg}(\tg 0{,}5)=4\cdot 0{,}5=2.$$
3. $$\operatorname{arctg}\left(\tg \frac{7\pi}{8}\right)=\operatorname{arctg}\left(\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)=-\frac{\pi}{8}.$$
4. $$\operatorname{arctg}(\tg 13)=\operatorname{arctg}\bigl(\tg(13-4\pi)\bigr)=13-4\pi.$$