Упр.612 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$({\tg x}-1)({\tg x}+\sqrt{3})=0$$
2. $$({\sqrt{3}}{\tg x}+1)({\tg x}-\sqrt{3})=0$$
3. $$({\tg x}-2)(2\cos-1)=0$$
4. $$({\tg x}-4{,}5)(1+2\sin x)=0$$
5. $$({\tg x}+4)\left(\frac{\tg x}{2}-1\right)=0$$
6. $$\left(\frac{\tg x}{6}+1\right)({\tg x}-1)=0$$

1) $$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+\sqrt3\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x-1=0 \quad \text{или} \quad \tg x+\sqrt3=0$$

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\sqrt3$$

Тогда

$$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$x=\arctg(-\sqrt3)+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\sqrt3\,\tg x+1\right)\left(\tg x-\sqrt3\right)=0$$

Отсюда:

$$\sqrt3\,\tg x+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-\sqrt3=0$$

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3} \quad \text{или} \quad \tg x=\sqrt3$$

Тогда

$$x=\arctg\!\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$x=\arctg\sqrt3+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$\left(\tg x-2\right)\left(2\cos x-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x-2=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$

Тогда

$$x=\arctg 2+\pi n$$

$$x=\pm\arccos\frac12+2\pi n=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

Ответ: $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$\left(\tg x-4{,}5\right)\left(1+2\sin x\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x-4{,}5=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin x=0$$

$$\tg x=4{,}5 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12$$

Тогда

$$x=\arctg 4{,}5+\pi n$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

Ответ: $$x=\arctg 4{,}5+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

5) $$\left(\tg x+4\right)\left(\tg\frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x+4=0 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}-1=0$$

$$\tg x=-4 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=1$$

Тогда

$$x=-\arctg 4+\pi n$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

Но $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ не подходит, так как при этих значениях не существует $$\tg\frac{x}{2}$$.

Ответ: $$x=-\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

6) $$\left(\tg\frac{x}{6}+1\right)\left(\tg x-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg\frac{x}{6}+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-1=0$$

$$\tg\frac{x}{6}=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

Тогда

$$\frac{x}{6}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n$$

Но эти значения не подходят, так как при них не существует $$\tg\frac{x}{6}$$.

Из второго уравнения получаем

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$