Упр.603 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin\left(\arcsin\frac{1}{3}+\arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$
- $$\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}+\arccos\frac{4}{5}\right)$$
1) Используем формулу суммы синуса:
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$
Пусть $$\alpha=\arcsin\frac13,$$ $$\beta=\arccos\frac{2\sqrt2}{3}.$$ Тогда
$$\sin\left(\arcsin\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\sin\left(\arcsin\frac13\right)\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)+\cos\left(\arcsin\frac13\right)\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right).$$
Находим значения:
$$\sin\left(\arcsin\frac13\right)=\frac13,$$
$$\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{2\sqrt2}{3},$$
$$\cos\left(\arcsin\frac13\right)=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3},$$
$$\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac19}=\frac13.$$
Тогда
$$\sin\left(\arcsin\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac13\cdot\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac13=\frac{4\sqrt2}{9}.$$
2) Используем формулу косинуса суммы:
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$
Пусть $$\alpha=\arcsin\frac35,$$ $$\beta=\arccos\frac45.$$ Тогда
$$\cos\left(\arcsin\frac35+\arccos\frac45\right)=\cos\left(\arcsin\frac35\right)\cos\left(\arccos\frac45\right)-\sin\left(\arcsin\frac35\right)\sin\left(\arccos\frac45\right).$$
Находим значения:
$$\sin\left(\arcsin\frac35\right)=\frac35,$$
$$\cos\left(\arccos\frac45\right)=\frac45,$$
$$\cos\left(\arcsin\frac35\right)=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,$$
$$\sin\left(\arccos\frac45\right)=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35.$$
Тогда
$$\cos\left(\arcsin\frac35+\arccos\frac45\right)=\frac45\cdot\frac45-\frac35\cdot\frac35=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$$
Ответ
1) $$\frac{4\sqrt2}{9}$$; 2) $$\frac{7}{25}$$.
