Упр.600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\arcsin(\sin a)=a$$ при $$-\frac{\pi}{2}\leq a\leq\frac{\pi}{2}$$.
2. Вычислить:
   1. $$7\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)$$;
   2. $$4\arcsin\left(\sin\frac{1}{2}\right)$$;
   3. $$\arcsin\left(\sin\frac{6\pi}{7}\right)$$;
   4. $$\arcsin(\sin 5)$$.

По определению арксинуса, если $$\arcsin(\sin a)=\beta,$$ то $$\sin \beta=\sin a$$ и $$-\frac{\pi}{2}\le \beta \le \frac{\pi}{2}.$$

Если при этом $$-\frac{\pi}{2}\le a \le \frac{\pi}{2},$$ то значение, принадлежащее промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ единственно, значит $$\beta=a.$$ Следовательно,

$$\arcsin(\sin a)=a,\qquad -\frac{\pi}{2}\le a \le \frac{\pi}{2}.$$

Теперь вычислим:

1. $$7\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=7\cdot\frac{\pi}{7}=\pi.$$

2. $$4\arcsin\left(\sin\frac12\right)=4\cdot\frac12=2.$$

3. Так как $$\frac{6\pi}{7}=\pi-\frac{\pi}{7},$$ то

   $$\arcsin\left(\sin\frac{6\pi}{7}\right)=\arcsin\left(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)\right)=\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=\frac{\pi}{7}.$$

4. Число $$5$$ не принадлежит промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ поэтому приводим его к этому промежутку:

   $$5=5-2\pi+2\pi,$$

   а значит

   $$\arcsin(\sin 5)=\arcsin(\sin(5-2\pi))=5-2\pi.$$

Ответ: $$\pi;\ 2;\ \frac{\pi}{7};\ 5-2\pi.$$