Упр.599 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\sin(\arcsin a)=a$$ при $$-1\le a\le 1$$. Вычислить: 1) $$\sin\left(\arcsin\frac{1}{7}\right)$$; 2) $$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$; 3) $$\sin\left(\pi+\arcsin\frac{3}{4}\right)$$; 4) $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}\right)$$; 5) $$\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$$; 6) $$\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$.

Пусть $$\arcsin a=\alpha,$$ тогда $$\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\sin\alpha=a.$$

Следовательно,

$$\sin(\arcsin a)=\sin\alpha=a,$$

что и требовалось доказать.

Теперь вычислим значения выражений:

1. $$\sin\left(\arcsin\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{7}.$$

2. $$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{5}\right)\right)=-\frac{1}{5}.$$

3. $$\sin\left(\pi+\arcsin\frac{3}{4}\right)=-\sin\left(\arcsin\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{4}.$$

4. $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}\right)=-\sin\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}.$$

5. $$\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

6. $$\tg\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sin\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}{\cos\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1-\frac{1}{10}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{\frac{9}{10}}}=\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$\sin(\arcsin a)=a;\ \frac{1}{7};\ -\frac{1}{5};\ -\frac{3}{4};\ -\frac{1}{3};\ \frac{3}{5};\ \frac{1}{3}.$$