Упр.598 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения $$\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, удовлетворяющие неравенству $$\log_{\pi}(x-4\pi)<1$$.

Решим систему:

$$\begin{cases} \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \log_{\pi}(x-4\pi)<1. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\dfrac{x}{2}=(-1)^n\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Из неравенства с логарифмом получаем область определения и условие:

$$x-4\pi>0,\qquad x-4\pi<\pi.$$

Следовательно,

$$4\pi<x<5\pi.$$

Проверим корни уравнения $$x=(-1)^n\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$$ на этом промежутке. Подходит только

$$x=\dfrac{14\pi}{3}.$$

Ответ: $$\dfrac{14\pi}{3}$$