Упр.597 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения $$\sin 2x=\frac{1}{2}$$, принадлежащие отрезку $$[0;2\pi]$$.

Решим уравнение:

$$\sin 2x=\frac12.$$

Общее решение для синуса:

$$2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём корни, принадлежащие отрезку $$[0;2\pi].$$

При $$k=0,1,2,3$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{12},\quad x_2=\frac{5\pi}{12},\quad x_3=\frac{13\pi}{12},\quad x_4=\frac{17\pi}{12}.$$

При $$k\le -1$$ корни отрицательны, а при $$k\ge 4$$ они больше $$2\pi$$.

Ответ: $$\frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12}.$$