Упр.596 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(4\sin x-3\right)\left(2\sin x+1\right)=0$$
2. $$\left(4\sin 3x-1\right)\left(2\sin x+3\right)=0$$

1) $$\left(4\sin x-3\right)\left(2\sin x+1\right)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$4\sin x-3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+1=0.$$

Тогда

$$\sin x=\frac34 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(4\sin 3x-1\right)\left(2\sin x+3\right)=0$$

Снова приравниваем к нулю каждый множитель:

$$4\sin 3x-1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3=0.$$

Из первого уравнения получаем

$$\sin 3x=\frac14,$$

значит

$$3x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^n\frac13\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Во втором уравнении

$$\sin x=-\frac32,$$

но это невозможно, так как $$-1\le \sin x\le 1.$$

Ответ: 1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$ 2) $$x=(-1)^n\frac13\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$