Упр.595 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1+\cos 5x\sin 4x=\cos 4x\sin 5x$$
2. $$1-\sin x\cos 2x=\cos x\sin 2x$$

1) Преобразуем уравнение:

$$1+\cos 5x\sin 4x=\cos 4x\sin 5x$$

Перенесём слагаемые:

$$\cos 5x\sin 4x-\cos 4x\sin 5x=-1$$

По формуле

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

получаем:

$$\sin(4x-5x)=-1$$

$$\sin(-x)=-1$$

$$-\sin x=-1$$

$$\sin x=1$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$1-\sin x\cos 2x=\cos x\sin 2x$$

Перенесём слагаемые:

$$\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x=1$$

По формуле

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

получаем:

$$\sin(x+2x)=1$$

$$\sin 3x=1$$

Следовательно,

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.