Упр.594 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

594. Решить уравнение:
     1. $$1-4\sin x\cos x=0$$;
     2. $$\sqrt{3}+4\sin x\cos x=0$$;
     3. $$1+6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=0$$;
     4. $$1-8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$.

1) $$1-4\sin x\cos x=0$$

$$4\sin x\cos x=1$$

$$2\sin 2x=1$$

$$\sin 2x=\frac12$$

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sqrt3+4\sin x\cos x=0$$

$$4\sin x\cos x=-\sqrt3$$

$$2\sin 2x=-\sqrt3$$

$$\sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$1+6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=0$$

$$3\cdot 2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=-1$$

$$3\sin\frac{x}{2}=-1$$

$$\sin\frac{x}{2}=-\frac13$$

$$\frac{x}{2}=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^{n+1}2\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$1-8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$

$$8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=1$$

$$4\sin\frac{2x}{3}=1$$

$$\sin\frac{2x}{3}=\frac14$$

$$\frac{2x}{3}=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^n\frac{3}{2}\arcsin\frac14+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$x=(-1)^{n+1}2\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$x=(-1)^n\frac{3}{2}\arcsin\frac14+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$