Упр.593 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, имеет ли смысл выражение:
   
   1) $$\arcsin(\sqrt{5}-2)$$;
   
   2) $$\arcsin(\sqrt{5}-3)$$;
   
   3) $$\arcsin(3-\sqrt{7})$$;
   
   4) $$\arcsin(2-\sqrt{10})$$;
   
   5) $$\tg\left(6\arcsin\frac{1}{2}\right)$$;
   
   6) $$\tg\left(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$.

Арксинус определён только при значениях аргумента из отрезка $$[-1;1].$$ Проверим каждое выражение.

1. $$\arcsin(\sqrt{5}-2)$$

   Так как $$4<5<9,$$ то $$2<\sqrt{5}<3,$$ значит

   $$0<\sqrt{5}-2<1.$$

   Следовательно, выражение имеет смысл.

2. $$\arcsin(\sqrt{5}-3)$$

   Из неравенства $$2<\sqrt{5}<3$$ получаем

   $$-1<\sqrt{5}-3<0.$$

   Следовательно, выражение имеет смысл.

3. $$\arcsin(3-\sqrt{17})$$

   Так как $$16<17<25,$$ то $$4<\sqrt{17}<5,$$ значит

   $$-2<3-\sqrt{17}<-1.$$

   Арксинус при таких значениях не определён.

4. $$\arcsin(2-\sqrt{10})$$

   Так как $$9<10<16,$$ то $$3<\sqrt{10}<4,$$ значит

   $$-2<2-\sqrt{10}<-1.$$

   Арксинус при таких значениях не определён.

5. $$\tg\left(6\arcsin\frac12\right)$$

   $$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},$$ поэтому

   $$\tg\left(6\arcsin\frac12\right)=\tg\left(6\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\tg\pi=0.$$

   Выражение имеет смысл.

6. $$\tg\left(2\arcsin\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

   $$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$ значит

   $$\tg\left(2\arcsin\frac{\sqrt2}{2}\right)=\tg\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\tg\frac{\pi}{2},$$

   а это выражение не определено.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) нет.