Упр.584 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$-1 \leq a \leq 1$$, то $$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a$$.

Пусть $$x=\arccos a.$$ Тогда при $$-1\le a\le 1$$ имеем $$a=\cos x$$ и $$x\in[0;\pi].$$

Рассмотрим левую часть:

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=2\arccos\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

Используем формулу

$$\frac{1+\cos x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2\arccos\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=2\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right).$$

Так как $$x\in[0;\pi],$$ то $$\frac{x}{2}\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ и потому

$$\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}.$$

Следовательно,

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=2\cdot\frac{x}{2}=x=\arccos a.$$

Итак,

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a,$$

что и требовалось доказать.