Упр.582 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\sin\left(\arccos\frac{1}{3}+\arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$; 2) $$\cos\left(\arccos\frac{4}{5}-\arccos\frac{3}{5}\right)$$.

1) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Пусть $$\alpha=\arccos\frac13,\qquad \beta=\arccos\frac{2\sqrt2}{3}.$$ Тогда

$$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Так как $$\cos\alpha=\frac13,\qquad \cos\beta=\frac{2\sqrt2}{3},$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3},$$

$$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac89}=\frac13.$$

Тогда

$$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}+\frac13\cdot\frac13=\frac89+\frac19=1.$$

2) Используем формулу разности косинусов:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Пусть $$\alpha=\arccos\frac45,\qquad \beta=\arccos\frac35.$$ Тогда

$$\cos\left(\arccos\frac45-\arccos\frac35\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Так как $$\cos\alpha=\frac45,\qquad \cos\beta=\frac35,$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35,$$

$$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45.$$

Тогда

$$\cos\left(\arccos\frac45-\arccos\frac35\right)=\frac45\cdot\frac35+\frac35\cdot\frac45=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25}.$$

Ответ: 1) $$1$$; 2) $$\frac{24}{25}$$.