Упр.581 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что $$\arccos(\cos a)=a$$ при $$0\leq a\leq\pi$$.

Вычислить:

1. $$5\arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right)$$;
2. $$3\arccos(\cos 2)$$;
3. $$\arccos\left(\cos\frac{8\pi}{7}\right)$$;
4. $$\arccos(\cos 4)$$.

По определению арккосинуса, если $$0 \le x \le \pi,$$ то

$$\arccos(\cos x)=x.$$

Это и требуется доказать.

Вычислим значения:

1. $$5\arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right)=5\cdot\frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{2}.$$

2. Так как $$2\in[0;\pi],$$ то

   $$3\arccos(\cos 2)=3\cdot 2=6.$$

3. $$\arccos\left(\cos\frac{8\pi}{7}\right)=\arccos\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)\right)=\arccos\left(-\cos\frac{\pi}{7}\right).$$

   Поскольку $$\arccos(-u)=\pi-\arccos(u),$$ получаем

   $$\arccos\left(-\cos\frac{\pi}{7}\right)=\pi-\arccos\left(\cos\frac{\pi}{7}\right)=\pi-\frac{\pi}{7}=\frac{6\pi}{7}.$$

4. $$\arccos(\cos 4)=\arccos\left(\cos\left(\pi+(4-\pi)\right)\right)=\arccos\left(-\cos(4-\pi)\right).$$

   Так как $$4-\pi\in[0;\pi],$$ то

   $$\arccos\left(-\cos(4-\pi)\right)=\pi-\arccos\left(\cos(4-\pi)\right)=\pi-(4-\pi)=2\pi-4.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2};\ 6;\ \frac{6\pi}{7};\ 2\pi-4.$$