Упр.580 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что при всех значениях $$a$$, таких, что $$-1 \leq a \leq 1$$, выполняется равенство $$\cos(\arccos a)=a$$.

Вычислить:

1. $$\cos(\arccos 0{,}2)$$;
2. $$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$;
3. $$\cos\left(\pi+\arccos\frac{3}{4}\right)$$;
4. $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\arccos\frac{1}{3}\right)$$;
5. $$\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$$;
6. $$\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$$.

По определению арккосинуса, если $$\arccos a=x,$$ то $$\cos x=a$$ и $$0\le x\le \pi.$$ Следовательно, для любого $$a$$, где $$-1\le a\le 1,$$ имеем

$$\cos(\arccos a)=a.$$

Ход решения

1. $$\cos(\arccos 0{,}2)=0{,}2.$$

2. $$\cos\!\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)=-\frac{2}{3}.$$

3. $$\cos\!\left(\pi+\arccos\frac{3}{4}\right)=-\cos\!\left(\arccos\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{4}.$$

4. $$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\arccos\frac{1}{3}\right)=\cos\!\left(\arccos\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}.$$

5. Пусть $$\alpha=\arccos\frac{4}{5}.$$ Тогда $$\cos\alpha=\frac{4}{5},$$ а так как $$\alpha\in[0,\pi],$$ то $$\sin\alpha\ge 0.$$

   $$\sin\!\left(\arccos\frac{4}{5}\right)=\sqrt{1-\cos^2\!\left(\arccos\frac{4}{5}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

6. Пусть $$\beta=\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Тогда $$\cos\beta=\frac{3}{\sqrt{10}},$$ а поскольку $$\beta\in[0,\pi],$$ то $$\sin\beta\ge 0.$$

   $$\tg\!\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sqrt{1-\cos^2\beta}}{\cos\beta}=\frac{\sqrt{1-\frac{9}{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{\frac{1}{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$\cos(\arccos a)=a,$$

1) $$0{,}2$$; 2) $$-\frac{2}{3}$$; 3) $$-\frac{3}{4}$$; 4) $$\frac{1}{3}$$; 5) $$\frac{3}{5}$$; 6) $$\frac{1}{3}$$.