Упр.577 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения $$\cos 2x=\frac{1}{2}$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$.

Решим уравнение:

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Найдём корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right].$$

Подходящие значения:

$$x_1=-\frac{\pi}{3},\quad x_2=\frac{\pi}{3},\quad x_3=\frac{2\pi}{3},\quad x_4=\frac{4\pi}{3},\quad x_5=\frac{5\pi}{3},\quad x_6=\frac{7\pi}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$