Упр.576 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 76. Решить уравнение:
а) $$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$;
б) $$4\cos^2 x=3$$;
в) $$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$;
г) $$2\sqrt{2}\cos^2 x=1+\sqrt{2}$$;
д) $$(1+\cos x)(3-2\cos x)=0$$;
е) $$(1-\cos x)(4+3\cos 2x)=0$$;
ж) $$(1+2\cos x)(1-3\cos x)=0$$;
з) $$(1-2\cos x)(2+3\cos x)=0$$.
1) $$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$
Перенесём $$\sin^2 2x$$ в левую часть:
$$\cos^2 2x-\sin^2 2x=1$$
По формуле $$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x$$ получаем:
$$\cos 4x=1$$
Тогда
$$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$4\cos^2 x=3$$
$$\cos^2 x=\frac34$$
$$\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
Отсюда
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Объединяя, получаем:
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$
$$2\cos^2 x-2\sin^2 x=1$$
$$2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$
$$\cos 2x=\frac12$$
Тогда
$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$2\sqrt2\cos^2 x=1+\sqrt2$$
$$\sqrt2(2\cos^2 x-1)=1$$
$$2\cos^2 x-1=\frac1{\sqrt2}$$
$$\cos 2x=\frac1{\sqrt2}$$
Следовательно,
$$2x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
5) $$(1+\cos x)(3-2\cos x)=0$$
Отсюда:
$$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad 3-2\cos x=0$$
Из первого уравнения:
$$\cos x=-1$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Из второго:
$$\cos x=\frac32$$
Решений нет, так как $$\frac32>1$$.
Значит,
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
6) $$(1-\cos x)(4+3\cos x)=0$$
Отсюда:
$$1-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4+3\cos x=0$$
Из первого уравнения:
$$\cos x=1$$
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Из второго:
$$\cos x=-\frac43$$
Решений нет, так как $$-\frac43<-1$$.
Значит,
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
7) $$(1+2\cos x)(1-3\cos x)=0$$
Отсюда:
$$1+2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-3\cos x=0$$
Из первого уравнения:
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Из второго:
$$\cos x=\frac13$$
$$x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
8) $$(1-2\cos x)(2+3\cos x)=0$$
Отсюда:
$$1-2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2+3\cos x=0$$
Из первого уравнения:
$$\cos x=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Из второго:
$$\cos x=-\frac23$$
$$x=\pm\left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
$$\begin{aligned} 1)&\ x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;\\ 2)&\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 3)&\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 4)&\ x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 5)&\ x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 6)&\ x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 7)&\ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 8)&\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$
