Упр.570 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа: 1) $$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$\arccos\frac{1}{2}$$; 2) $$\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$$ и $$\arccos(-1)$$; 3) $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ и $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$.

Используем свойства арккосинуса: если $$\cos \alpha = a$$ и $$0 \le \alpha \le \pi,$$ то $$\arccos a = \alpha,$$ а также $$\arccos(-a)=\pi-\arccos a.$$

1. $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}, \qquad \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}.$$

   Так как $$\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{3},$$ то

   $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}<\arccos \frac{1}{2}.$$

2. $$\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)=\pi-\arccos \frac{3}{4}<\pi,$$

   а $$\arccos(-1)=\pi-\arccos 1=\pi.$$

   Следовательно,

   $$\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)<\arccos(-1).$$

3. $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4},$$

   $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\pi-\arccos \frac{1}{2}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.$$

   Так как $$\frac{3\pi}{4}>\frac{2\pi}{3},$$ то

   $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)>\arccos\left(-\frac{1}{2}\right).$$

Ответ: 1) $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}<\arccos \frac{1}{2};$$ 2) $$\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)<\arccos(-1);$$ 3) $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)>\arccos\left(-\frac{1}{2}\right).$$