Упр.567 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Преобразуем правую часть:

$$\frac18(5+3\cos 4a)=\frac18(5+3(2\cos^2 2a-1))=\frac18(2+6\cos^2 2a)=\frac14(1+3\cos^2 2a).$$

Так как $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$ то

$$\cos^2 2a=(\cos^2 a-\sin^2 a)^2=\cos^4 a+\sin^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Тогда

$$\frac14(1+3\cos^2 2a)=\frac14\bigl(1+3(\cos^4 a+\sin^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a)\bigr).$$

С учётом $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$ получаем

$$\cos^4 a+\sin^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Значит,

$$\frac14(1+3\cos^2 2a)=\frac14\bigl(1+3(1-4\sin^2 a\cos^2 a)\bigr)=1-3\sin^2 a\cos^2 a.$$

А

$$\sin^6 a+\cos^6 a=(\sin^2 a)^3+(\cos^2 a)^3=(\sin^2 a+\cos^2 a)^3-3\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)=1-3\sin^2 a\cos^2 a.$$

Следовательно,

$$\sin^6 a+\cos^6 a=\frac18(5+3\cos 4a).$$

2) Преобразуем левую часть:

$$\sin^8 a+\cos^8 a=(\sin^4 a+\cos^4 a)^2-2\sin^4 a\cos^4 a.$$

Но

$$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Тогда

$$\sin^8 a+\cos^8 a=(1-2\sin^2 a\cos^2 a)^2-2\sin^4 a\cos^4 a =1-4\sin^2 a\cos^2 a+2\sin^4 a\cos^4 a.$$

Используем формулы $$\sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a$$ и $$\sin^4 2a=16\sin^4 a\cos^4 a$$:

$$\sin^8 a+\cos^8 a=1-\sin^2 2a+\frac18\sin^4 2a.$$

Так как $$\sin^2 2a=\frac{1-\cos 4a}{2},$$ то

$$\sin^8 a+\cos^8 a=1-\frac12(1-\cos 4a)+\frac18\left(\frac{1-\cos 4a}{2}\right)^2.$$

После упрощения получаем

$$\sin^8 a+\cos^8 a=\frac1{32}\left(\cos^2 4a+14\cos 4a+17\right).$$

Обе тождества доказаны.