Упр.566 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

566. Доказать тождество: $$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{1}{4}.$$

Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos x \cos y=\frac12\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr).$$

Тогда

$$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right) =\sin^2 a+\frac12\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+\cos(-2a)\right).$$

Так как $$\cos(-2a)=\cos 2a$$, а $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

$$\sin^2 a+\frac12\left(-\frac12+\cos 2a\right) =\sin^2 a-\frac14+\frac12\cos 2a.$$

Подставим формулу $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:

$$\sin^2 a-\frac14+\frac12(\cos^2 a-\sin^2 a) =\frac12\sin^2 a+\frac12\cos^2 a-\frac14.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$\frac12(\sin^2 a+\cos^2 a)-\frac14 =\frac12-\frac14=\frac14.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ: $$\frac14$$.