Упр.564 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}=\operatorname{tg}3a$$

Воспользуемся формулами суммы тригонометрических функций:

$$\sin a+\sin 5a=2\sin 3a\cos 2a,$$
$$\cos a+\cos 5a=2\cos 3a\cos 2a.$$

Тогда

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a} = \frac{2\sin 3a\cos 2a+\sin 3a}{2\cos 3a\cos 2a+\cos 3a} = \frac{\sin 3a(2\cos 2a+1)}{\cos 3a(2\cos 2a+1)}.$$

Сокращаем на $$2\cos 2a+1$$:

$$\frac{\sin 3a}{\cos 3a}=\tg 3a.$$

Следовательно,

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}=\tg 3a,$$
что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.