Упр.562 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить значение выражения $$\frac{4\sin^2 a+5\cos^2 a}{2\sin^2 a-3\cos^2 a}$$, если $$\operatorname{ctg} a=\frac{1}{3}$$.

Найдём сначала $$\ctg 2a$$ по формуле двойного угла:

$$\ctg 2a=\frac{\ctg^2 a-1}{2\ctg a}$$

Так как $$\ctg a=\frac13,$$ то

$$\ctg 2a=\frac{\left(\frac13\right)^2-1}{2\cdot \frac13} =\frac{\frac19-1}{\frac23} =\frac{-\frac89}{\frac23} =-\frac43.$$

Теперь преобразуем выражение:

$$\frac{4\sin 2a+5\cos 2a}{2\sin 2a-3\cos 2a} = \frac{\frac{4\sin 2a}{\sin 2a}+\frac{5\cos 2a}{\sin 2a}}{\frac{2\sin 2a}{\sin 2a}-\frac{3\cos 2a}{\sin 2a}} = \frac{4+5\ctg 2a}{2-3\ctg 2a}.$$

Подставим $$\ctg 2a=-\frac43$$:

$$\frac{4+5\left(-\frac43\right)}{2-3\left(-\frac43\right)} = \frac{4-\frac{20}{3}}{2+4} = \frac{-\frac83}{6} = -\frac49.$$

Ответ

$$-\frac49$$