Упр.554 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 554

1. $$\frac{\sqrt{3}\,(\cos 75^\circ-\cos 15^\circ)}{1-2\sin^2 15^\circ}$$

   Используем формулы:
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$
   $$1-2\sin^2 x=\cos 2x.$$

   Тогда
   $$ \frac{\sqrt{3}\,(\cos 75^\circ-\cos 15^\circ)}{1-2\sin^2 15^\circ} = \frac{\sqrt{3}\cdot(-2)\sin 45^\circ\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}. $$

   Подставим значения:
   $$ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12,\qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

   Получаем:
   $$ \frac{\sqrt{3}\cdot(-2)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\sqrt{2}. $$

2. $$\frac{2\cos^2 \frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8}}$$

   Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$ 2\cos^2 x-1=\cos 2x,\qquad 2\sin x\cos x=\sin 2x. $$

   Тогда
   $$ \frac{2\cos^2 \frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{1+2\sin^2 \frac{\pi}{4}}. $$

   Так как
   $$ \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, $$
   то
   $$ 1+2\sin^2 \frac{\pi}{4}=1+2\cdot \frac12=2. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{1+2\sin^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}. $$

Ответ

1) $$-\sqrt{2}$$
2) $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$