Упр.552 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1. 1) $$1+\tg a\tg b=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}$$;
   2) $$\tg a-\tg b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$1+\tg a\cdot \tg b=1+\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\sin b}{\cos b}$$

$$=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b}$$

По формуле косинуса разности:

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

Следовательно,

$$1+\tg a\cdot \tg b=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\tg a-\tg b=\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}$$

$$=\frac{\sin a\cos b-\sin b\cos a}{\cos a\cos b}$$

По формуле синуса разности:

$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$

Значит,

$$\tg a-\tg b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$1+\tg a\cdot \tg b=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b},\qquad \tg a-\tg b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}.$$