Упр.547 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение: $$2\sin(\pi-a)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+3\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-2$$.

1) Используем формулы приведения:

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha,$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha.$$

Тогда

$$2\sin(\pi-\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+3\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-2$$
$$=2\sin\alpha\cdot\sin\alpha+3\cos^2\alpha-2$$
$$=2\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha-2.$$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ то

$$2\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha-2 =2(1-\cos^2\alpha)+3\cos^2\alpha-2 =\cos^2\alpha.$$

Ответ: $$\cos^2\alpha$$.

2) Преобразуем выражение, используя формулы приведения:

$$\frac{\sin(\pi+\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} {\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\tg(\pi+\alpha)}$$
$$= \frac{(-\sin\alpha)\cdot(\sin\alpha)\cdot(\ctg\alpha)} {(-\sin\alpha)\cdot(-\sin\alpha)\cdot(\tg\alpha)}.$$

Сократим:

$$\frac{-\sin^2\alpha\cdot\ctg\alpha}{\sin^2\alpha\cdot\tg\alpha} =-\frac{\ctg\alpha}{\tg\alpha}.$$

Так как $$\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha},$$ получаем

$$-\frac{\ctg\alpha}{\tg\alpha} =-\ctg^2\alpha.$$

Ответ: $$-\ctg^2\alpha$$.