Упр.546 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти:
- 1) $$\cos a$$, если $$\sin a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}
1) Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во второй четверти, где $$\cos a<0.$$
Используем формулу:
$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}.$$
Тогда
$$\cos a=-\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac13} =-\sqrt{\frac23} =-\frac{\sqrt6}{3}.$$
2) Так как $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в третьей четверти, где $$\tg a>0.$$
Используем формулу:
$$\tg a=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 a}-1}.$$
Тогда
$$\tg a=\sqrt{\frac{1}{\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)^2}-1} =\sqrt{\frac{9}{5}-1} =\sqrt{\frac45} =\frac{2\sqrt5}{5}.$$
3) Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, где $$\sin a>0.$$
Используем формулу:
$$\sin a=\frac{\tg a}{\sqrt{1+\tg^2 a}}.$$
Тогда
$$\sin a=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1+(2\sqrt2)^2}} =\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1+8}} =\frac{2\sqrt2}{3}.$$
4) Так как $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в третьей четверти, где $$\cos a<0.$$
Используем формулу:
$$\cos a=-\frac{\ctg a}{\sqrt{1+\ctg^2 a}}.$$
Тогда
$$\cos a=-\frac{\sqrt2}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}} =-\frac{\sqrt2}{\sqrt3} =-\frac{\sqrt6}{3}.$$
Ответ
1) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$; 2) $$\frac{2\sqrt5}{5}$$; 3) $$\frac{2\sqrt2}{3}$$; 4) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$.
