Упр.545 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Разложить на множители:
- $$1-\cos a+\sin a$$;
- $$1-2\cos a+\cos 2a$$;
- $$1+\sin a-\cos a-\tg a$$;
- $$1+\sin a+\cos a+\tg a$$.
1) $$1-\cos \alpha+\sin \alpha=\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$
$$=2\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right).$$
2) $$1-2\cos \alpha+\cos 2\alpha=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)-2\cos\alpha$$
$$=2\cos^2\alpha-2\cos\alpha=2\cos\alpha(\cos\alpha-1)=-4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}.$$
3) $$1+\sin \alpha-\cos \alpha-\tg \alpha=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
$$=\frac{\cos\alpha(1-\cos\alpha)-\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{\cos\alpha}=\frac{(1-\cos\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)}{\cos\alpha}$$
$$=(1-\cos\alpha)(1-\tg\alpha).$$
4) $$1+\sin \alpha+\cos \alpha+\tg \alpha=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
$$=\frac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)+\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha}=\frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha}$$
$$=(1+\tg\alpha)(1+\cos\alpha).$$
Ответ: 1) $$2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)$$; 2) $$2\cos\alpha(\cos\alpha-1)$$; 3) $$\left(1-\cos\alpha\right)\left(1-\tg\alpha\right)$$; 4) $$\left(1+\tg\alpha\right)\left(1+\cos\alpha\right)$$.
