Упр.543 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Записать в виде произведения:
- 1) $$\cos 22^\circ+\cos 24^\circ+\cos 26^\circ+\cos 28^\circ$$; 2) $$\cos\frac{\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{6}$$.
1) Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:
$$\cos 22^\circ+\cos 24^\circ+\cos 26^\circ+\cos 28^\circ = (\cos 22^\circ+\cos 28^\circ)+(\cos 24^\circ+\cos 26^\circ)$$
$$=2\cos 25^\circ\cos 3^\circ+2\cos 25^\circ\cos 1^\circ =2\cos 25^\circ(\cos 3^\circ+\cos 1^\circ)$$
$$=2\cos 25^\circ\cdot 2\cos 2^\circ\cos 1^\circ =4\cos 25^\circ\cos 2^\circ\cos 1^\circ.$$
Ответ: $$4\cos 25^\circ\cos 2^\circ\cos 1^\circ$$
2) Сначала преобразуем сумму первых двух косинусов:
$$\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{6} =\left(\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}\right)+\cos \frac{5\pi}{6}$$
$$=2\cos \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{6} =\cos \frac{\pi}{6}\left(2\cos \frac{\pi}{12}-1\right).$$
Так как $$\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то
$$\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(2\cos \frac{\pi}{12}-1\right).$$
Используем формулу $$2\cos x-1=2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$ при $$x=\frac{\pi}{12}$$:
$$2\cos \frac{\pi}{12}-1 =2\sin \frac{5\pi}{24}\sin \frac{\pi}{8}.$$
Тогда
$$\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{6} =\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{24}\sin \frac{\pi}{8}.$$
Ответ: $$\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{24}\sin \frac{\pi}{8}$$
