Упр.542 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right);$$
   2) $$\cos a-\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)=0;$$
   3) $$\frac{\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a}{\cos a+1-2\sin^2 2a}=2\sin a.$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)+\sin 2a=\cos 2a+\sin 2a.$$

Теперь используем формулу приведения к произведению:

$$\cos 2a+\sin 2a=\cos 2a+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)=2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$

Следовательно,

$$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем сумму косинусов:

$$\cos a+\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)$$

$$=\cos a+2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a$$

$$=\cos a+2\cdot\left(-\frac12\right)\cos a$$

$$=\cos a-\cos a=0.$$

Тождество доказано.

3) Упростим числитель и знаменатель:

$$\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a=2\sin a\cos a+2\sin 4a\cos a=2\sin a(\cos a+\cos 4a).$$

Знаменатель:

$$\cos a+1-2\sin^2 2a=\cos a+\cos 4a,$$

так как $$1-2\sin^2 2a=\cos 4a.$$

Тогда

$$\frac{\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a}{\cos a+1-2\sin^2 2a}=\frac{2\sin a(\cos a+\cos 4a)}{\cos a+\cos 4a}=2\sin a.$$

Тождество доказано.