Упр.542 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) cos4a — sin4a + sin2a= корень 2 cos( 2a- пи/4);
2) cosa — cos(2пи/3+a) + cos(2пи/3-a)=0;
3)(sin2a+sin5a-sin3a)/(cosa+1-2sin2 2a)= 2sina.

1. $$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)+\sin 2a$$

   $$=\cos 2a+\sin 2a$$

   $$=\cos 2a+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)$$

   $$=2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$\cos a+\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)$$

   $$=\cos a+2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a$$

   $$=\cos a+2\cdot\left(-\frac12\right)\cos a=0.$$

3. $$\frac{\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a}{\cos a+1-2\sin^2 2a}$$

   $$=\frac{2\sin a\cos a+2\sin 4a\cos a}{\cos a+1-(1-\cos 4a)}$$

   $$=\frac{2\sin a(\cos a+\cos 4a)}{\cos a+\cos 4a}=2\sin a.$$

Ответ

1) $$\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right)$$; 2) $$0$$; 3) $$2\sin a$$.