Упр.538 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. $$\cos 105^\circ+\cos 75^\circ$$; $$\sin 105-\sin 75$$; $$\cos\frac{11\pi}{12}+\cos\frac{5\pi}{12}$$; $$\cos\frac{11\pi}{12}-\cos\frac{5\pi}{12}$$; $$\sin\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}$$; $$\sin 105+\sin 165$$.

Используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

1. $$\cos 105^\circ+\cos 75^\circ=2\cos 90^\circ \cos 15^\circ=0.$$

2. $$\sin 105^\circ-\sin 75^\circ=2\cos 90^\circ \sin 15^\circ=0.$$

3. $$\cos \frac{11\pi}{12}+\cos \frac{5\pi}{12}=2\cos \frac{16\pi/12}{2}\cos \frac{6\pi/12}{2}$$

   $$=2\cos \frac{2\pi}{3}\cos \frac{\pi}{4}=2\cdot \left(-\frac12\right)\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

4. $$\cos \frac{11\pi}{12}-\cos \frac{5\pi}{12}=-2\sin \frac{16\pi/12}{2}\sin \frac{6\pi/12}{2}$$

   $$=-2\sin \frac{2\pi}{3}\sin \frac{\pi}{4}=-2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt6}{2}.$$

5. $$\sin \frac{7\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}=2\cos \frac{8\pi/12}{2}\sin \frac{6\pi/12}{2}$$

   $$=2\cos \frac{\pi}{3}\sin \frac{\pi}{4}=2\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

6. $$\sin 105^\circ+\sin 165^\circ=2\sin 135^\circ \cos 30^\circ$$

   $$=2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Ответ: 1) $$0$$; 2) $$0$$; 3) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$; 4) $$-\frac{\sqrt6}{2}$$; 5) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; 6) $$\frac{\sqrt6}{2}$$.