Упр.536 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от $$0$$ до $$\frac{\pi}{4}$$.
Пусть $$a$$ — произвольный угол. Представим его в виде
$$a=\pi n+\beta,\qquad n\in \mathbb Z,\quad \beta\in[0;\pi].$$
Далее положим
$$\beta=\frac{\pi}{2}\pm \gamma,\qquad \gamma\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$
Тогда
$$\gamma=2\varphi,\qquad \varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right].$$
Рассмотрим случаи.
Если $$n$$ чётное, то
$$\sin a=\sin(\pi n+\beta)=\sin\beta,\qquad \cos a=\cos(\pi n+\beta)=\cos\beta.$$
Если $$n$$ нечётное, то
$$\sin a=\sin(\pi n+\beta)=-\sin\beta,\qquad \cos a=\cos(\pi n+\beta)=-\cos\beta.$$
В любом случае значения $$\sin a$$ и $$\cos a$$ сводятся к значениям функций для угла $$\beta$$, а значит, и для угла $$\gamma$$, поскольку
$$\sin\beta=\pm\sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\gamma\right)=\pm\cos\gamma,$$
$$\cos\beta=\pm\cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\gamma\right)=\pm\sin\gamma.$$
Так как $$\gamma=2\varphi$$, где $$\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$, то по формулам двойного угла
$$\sin\gamma=\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi,$$
$$\cos\gamma=\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi.$$
Кроме того,
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a},\qquad \ctg a=\frac{\cos a}{\sin a}.$$
Значит, значения $$\tg a$$ и $$\ctg a$$ также выражаются через значения $$\sin\gamma$$ и $$\cos\gamma$$, а следовательно, через значения функций для угла $$\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right].$$
Таким образом, вычисление значений $$\sin a$$, $$\cos a$$ и $$\tg a$$ любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$.
