Упр.532 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество (532—533).

532. 1) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=0$$;
     2) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=0$$;
     3) $$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)}{\operatorname{tg}(\pi+a)}\cdot\frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}{\operatorname{tg}\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)}=-\sin a$$.

1)

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)$$
$$= \cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=0.$$

Тождество доказано.

2)

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right)$$
$$= \cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=0.$$

Тождество доказано.

3)

$$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)}{\tg(\pi+a)}\cdot \frac{\ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}{\tg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)} = \frac{-\cos a}{\tg a}\cdot \frac{-\tg a}{\tg\left(\pi-\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\right)}$$
$$= \frac{\cos a}{1}\cdot \frac{1}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)} = \cos a\cdot\frac{1}{-\ctg a} = \cos a\cdot\left(-\frac{\sin a}{\cos a}\right) = -\sin a.$$

Тождество доказано.