Упр.53 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Докажем, что
$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2.$$
Возведём левую часть в квадрат:
$$ \left(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}\right)^2 = (4+2\sqrt3)+(4-2\sqrt3)-2\sqrt{(4+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}. $$
$$ = 8-2\sqrt{16-12}=8-2\sqrt4=8-2\cdot 2=4=2^2. $$
Так как левая часть неотрицательна, то
$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2.$$
Докажем, что
$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$
Обозначим
$$x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.$$
Тогда
$$ x^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})} \left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\right). $$
$$ x^3=18+3\sqrt[3]{81-80}\,x=18+3x. $$
Получаем уравнение
$$ x^3-3x-18=0. $$
Проверим корень $x=3$:
$$ 3^3-3\cdot 3-18=27-9-18=0. $$
Следовательно, $x=3$, то есть
$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$