Упр.53 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Докажем, что

$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2.$$

Возведём левую часть в квадрат:

$$\left(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}\right)^2 = (4+2\sqrt3)+(4-2\sqrt3)-2\sqrt{(4+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}.$$

$$= 8-2\sqrt{16-12} = 8-2\sqrt4 = 8-2\cdot 2 = 4 = 2^2.$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2.$$

Что и требовалось доказать.

2) Докажем, что

$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$

Пусть

$$x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.$$

Тогда

$$x^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}\,x.$$

$$x^3=18+3\sqrt[3]{81-80}\,x=18+3x.$$

Следовательно,

$$x^3-3x-18=0.$$

Проверим значение $$x=3$$:

$$3^3-3\cdot 3-18=27-9-18=0.$$

Значит, $$x=3$$, то есть

$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$

Что и требовалось доказать.