Упр.523 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 1-cosx=2sin x/2;
2) 1+cosx =2cosx/2;
3) 1+cosx/2 = 2sin(x/4 — 3 пи/2);
4) 1+cos8x= 2cos4x;
5) 2sin2x/2 + 1/2sin2x=1;
6) 2cos2x-1/2sin4x=1.

1. $$1-\cos x=2\sin \frac{x}{2}$$

   Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}$$:

   $$ 2\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}=0 $$
   $$ 2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0 $$

   Отсюда:
   $$ \sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=1 $$

   $$ \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n $$
   $$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\pi+4\pi n $$

2. $$1+\cos x=2\cos \frac{x}{2}$$

   Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}$$:

   $$ 2\cos^2 \frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}=0 $$
   $$ 2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0 $$

   Тогда:
   $$ \cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=1 $$

   $$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n $$
   $$ \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n $$

3. $$1+\cos \frac{x}{2}=2\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)$$

   Так как
   $$ \sin \left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos \alpha, $$
   то
   $$ 2\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos \frac{x}{4}. $$

   Тогда:
   $$ 1+\cos \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{4} $$
   $$ 2\cos^2 \frac{x}{4}-2\cos \frac{x}{4}=0 $$
   $$ 2\cos \frac{x}{4}\left(\cos \frac{x}{4}-1\right)=0 $$

   Отсюда:
   $$ \cos \frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}=1 $$

   $$ \frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=2\pi+4\pi n $$
   $$ \frac{x}{4}=2\pi n \Rightarrow x=8\pi n $$

4. $$1+\cos 8x=2\cos 4x$$

   Используем формулу $$1+\cos 8x=2\cos^2 4x$$:

   $$ 2\cos^2 4x-2\cos 4x=0 $$
   $$ 2\cos 4x(\cos 4x-1)=0 $$

   Тогда:
   $$ \cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=1 $$

   $$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} $$
   $$ 4x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2} $$

5. $$2\sin^2 \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x=1$$

   Используем формулы $$2\sin^2 \frac{x}{2}=1-\cos x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$ (1-\cos x)+\frac{1}{2}(2\sin x\cos x)-1=0 $$
   $$ -\cos x+\sin x\cos x=0 $$
   $$ \cos x(\sin x-1)=0 $$

   Отсюда:
   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1 $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

   Второе уравнение даёт
   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
   что входит в уже найденное множество решений.

6. $$2\cos^2 x-\frac{1}{2}\sin 4x=1$$

   Используем формулы $$2\cos^2 x=1+\cos 2x$$ и $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

   $$ (1+\cos 2x)-\frac{1}{2}(2\sin 2x\cos 2x)-1=0 $$
   $$ \cos 2x-\sin 2x\cos 2x=0 $$
   $$ \cos 2x(1-\sin 2x)=0 $$

   Тогда:
   $$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=1 $$

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$
   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n $$

   Второе множество входит в первое, поэтому достаточно первого.

Ответ

1) $$x=2\pi n,\; x=\pi+4\pi n$$
2) $$x=\pi+2\pi n,\; x=4\pi n$$
3) $$x=2\pi+4\pi n,\; x=8\pi n$$
4) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi n}{2}$$
5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
6) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in \mathbb{Z}$$