Упр.523 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$
2. $$1+\cos x=2\cos\frac{x}{2}$$
3. $$1+\cos\frac{x}{2}=2\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)$$
4. $$1+\cos 8x=2\cos 4x$$
5. $$2\sin^2\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x=1$$
6. $$2\cos^2 x-\frac{1}{2}\sin 4x=1$$

1) $$1-\cos x=2\sin \frac{x}{2}$$

Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}$$:

$$2\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}=0$$

$$2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=1$$

1) $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n$$

2) $$\sin \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\pi+4\pi n$$

$$x=2\pi n,\; x=\pi+4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

2) $$1+\cos x=2\cos \frac{x}{2}$$

Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}$$:

$$2\cos^2 \frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}=0$$

$$2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=1$$

1) $$\cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$

2) $$\cos \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n$$

$$x=\pi+2\pi n,\; x=4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

3) $$1+\cos \frac{x}{2}=2\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)$$

Преобразуем правую часть:

$$\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos \frac{x}{4}$$

Тогда

$$1+\cos \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{4}$$

Используем формулу $$1+\cos \frac{x}{2}=2\cos^2 \frac{x}{4}$$:

$$2\cos^2 \frac{x}{4}-2\cos \frac{x}{4}=0$$

$$2\cos \frac{x}{4}\left(\cos \frac{x}{4}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}=1$$

1) $$\cos \frac{x}{4}=0 \Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=2\pi+4\pi n$$

2) $$\cos \frac{x}{4}=1 \Rightarrow \frac{x}{4}=2\pi n \Rightarrow x=8\pi n$$

$$x=2\pi+4\pi n,\; x=8\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

4) $$1+\cos 8x=2\cos 4x$$

Используем формулу $$1+\cos 8x=2\cos^2 4x$$:

$$2\cos^2 4x-2\cos 4x=0$$

$$2\cos 4x(\cos 4x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=1$$

1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

2) $$\cos 4x=1 \Rightarrow 4x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

5) $$2\sin^2 \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x=1$$

Преобразуем:

$$2\sin^2 \frac{x}{2}=1-\cos x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$

Тогда

$$1-\cos x+\sin x\cos x-1=0$$

$$\cos x(\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

2) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

Второе множество входит в первое, поэтому

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

6) $$2\cos^2 x-\frac{1}{2}\sin 4x=1$$

Используем формулы $$2\cos^2 x=1+\cos 2x$$ и $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$1+\cos 2x-\sin 2x\cos 2x=1$$

$$\cos 2x-\sin 2x\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(1-\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=1$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$\sin 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Второе множество входит в первое, поэтому

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$