Упр.522 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$\frac{\operatorname{tg} 2a}{\operatorname{tg} 4a-\operatorname{tg} 2a}$$.

$$\frac{\tg 2a}{\tg 4a-\tg 2a}$$

Преобразуем знаменатель, используя формулу $$\tg 4a=\frac{2\tg 2a}{1-\tg^2 2a}$$:

$$\frac{\tg 2a}{\tg 4a-\tg 2a} = \frac{\tg 2a}{\frac{2\tg 2a}{1-\tg^2 2a}-\tg 2a} = \frac{\tg 2a(1-\tg^2 2a)}{2\tg 2a-\tg 2a(1-\tg^2 2a)}$$

$$= \frac{\tg 2a(1-\tg^2 2a)}{\tg 2a+\tg^3 2a} = \frac{1-\tg^2 2a}{1+\tg^2 2a}$$

По формуле $$\cos 4a=\frac{1-\tg^2 2a}{1+\tg^2 2a}$$ получаем:

$$\frac{\tg 2a}{\tg 4a-\tg 2a}=\cos 4a.$$

Ответ: $$\cos 4a$$.