Упр.521 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$0

Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac{a}{2}<\frac{\pi}{4}.$$ Следовательно, $$\sin\frac{a}{2}>0,$$ $$\cos\frac{a}{2}>0,$$ и потому

$$\sqrt{1+\sin a}=\sqrt{1+2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=\sqrt{\sin^2\frac{a}{2}+\cos^2\frac{a}{2}+2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2},$$

$$\sqrt{1-\sin a}=\sqrt{1-2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=\sqrt{\sin^2\frac{a}{2}+\cos^2\frac{a}{2}-2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=\cos\frac{a}{2}-\sin\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=\left(\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2}\right)-\left(\cos\frac{a}{2}-\sin\frac{a}{2}\right)=2\sin\frac{a}{2}.$$

Ответ

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=2\sin\frac{a}{2}.$$