Упр.521 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 521 Доказать, что если 0 < a < пи/2 , то корень (1+sina) - корень (1-sina) = 2sina/2.

Используем формулы половинного угла:

$$1+\sin a=\sin^2\frac a2+\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2=\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)^2,$$
$$1-\sin a=\sin^2\frac a2+\cos^2\frac a2-2\sin\frac a2\cos\frac a2=\left(\cos\frac a2-\sin\frac a2\right)^2.$$

Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac a2<\frac{\pi}{4},$$ значит, $$\sin\frac a2<\cos\frac a2.$$ Поэтому

$$\sqrt{1+\sin a}=\sin\frac a2+\cos\frac a2,$$
$$\sqrt{1-\sin a}=\cos\frac a2-\sin\frac a2.$$

Тогда

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)-\left(\cos\frac a2-\sin\frac a2\right)=2\sin\frac a2.$$

Ответ

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=2\sin\frac a2.$$