Упр.520 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \ctg a$$

Используем формулы $$1-\cos 2a=2\sin^2 a$$ и $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \ctg a=\frac{2\sin^2 a}{2\sin a\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=1.$$

Тождество доказано.

2) $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\tg a$$

Используем формулы $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$ и $$1+\cos 2a=2\cos^2 a$$:

$$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

Тождество доказано.

3) $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{\cos 2a}{1+\sin 2a}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1-\tg a}{1+\tg a}=\frac{1-\frac{\sin a}{\cos a}}{1+\frac{\sin a}{\cos a}}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

Следовательно, тождество верно.

4) $$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a}=\frac{(\cos a+\sin a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg a}{1-\tg\frac{\pi}{4}\tg a}=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

Тождество доказано.