Упр.519 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 519. Доказать тождества:
   1) $$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1+\sin a$$;
   2) $$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1-\sin a$$;
   3) $$\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}=\operatorname{tg}^4a$$;
   4) $$\frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a}=\operatorname{ctg}a$$.

1) $$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1+\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=1+\sin a.$$

Тождество доказано.

2) $$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1-\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=1-\sin a.$$

Тождество доказано.

3) $$\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}$$

Используем формулу $$\cos 4a=2\cos^2 2a-1.$$ Тогда

$$\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a} = \frac{3-4\cos 2a+2\cos^2 2a-1}{3+4\cos 2a+2\cos^2 2a-1} = \frac{1-2\cos 2a+\cos^2 2a}{1+2\cos 2a+\cos^2 2a}.$$

Получаем

$$\frac{(1-\cos 2a)^2}{(1+\cos 2a)^2} = \left(\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}\right)^2.$$

По формулам $$1-\cos 2a=2\sin^2 a$$ и $$1+\cos 2a=2\cos^2 a$$ имеем

$$\left(\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}\right)^2 = \left(\frac{2\sin^2 a}{2\cos^2 a}\right)^2 = \left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^4 = \tg^4 a.$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a} = \frac{\cos^2 a+\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a+\sin^2 a+2\sin a\cos a-\cos^2 a+\sin^2 a}$$

$$= \frac{2\cos^2 a+2\sin a\cos a}{2\sin^2 a+2\sin a\cos a} = \frac{2\cos a(\cos a+\sin a)}{2\sin a(\sin a+\cos a)} = \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a.$$

Тождество доказано.