Упр.516 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)sina/2;
2) cosa/2;
3) tga/2;
4) ctga/2.

Так как $$\sin a=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}

Найдём косинус угла $$a$$:

$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac{4}{5}. $$

Теперь используем формулы половинного угла. Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то $$\frac{a}{2}$$ — угол I четверти, поэтому все искомые значения положительны.

1) $$\sin \frac{a}{2}$$

$$ \sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2} =\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2} =\frac{1+\frac{4}{5}}{2} =\frac{\frac{9}{5}}{2} =\frac{9}{10}. $$

$$ \sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}. $$

2) $$\cos \frac{a}{2}$$

$$ \cos^2 \frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2} =\frac{1-\frac{4}{5}}{2} =\frac{\frac{1}{5}}{2} =\frac{1}{10}. $$

$$ \cos \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}. $$

3) $$\tg \frac{a}{2}$$

$$ \tg^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a} =\frac{1+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}} =\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} =9. $$

$$ \tg \frac{a}{2}=3. $$

4) $$\ctg \frac{a}{2}$$

$$ \ctg \frac{a}{2}=\frac{1}{\tg \frac{a}{2}}=\frac{1}{3}. $$

Ответ

$$\sin \frac{a}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad \cos \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad \tg \frac{a}{2}=3,\quad \ctg \frac{a}{2}=\frac{1}{3}.$$