Упр.516 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$\sin a=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\sin \alpha=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$

Найдём косинус:

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

Теперь используем формулы половинного угла. Так как $$\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin\frac{\alpha}{2}>0$$ и $$\cos\frac{\alpha}{2}>0.$$

1) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-(-\frac45)}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

2) $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+(-\frac45)}{2}}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$

3) $$\tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\sqrt{\frac{1-(-\frac45)}{1+(-\frac45)}}=\sqrt{\frac{9}{1}}=3.$$

4) $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad \tg\frac{\alpha}{2}=3,\quad \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}.$$