Упр.515 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$\cos \alpha=0{,}6$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$. Вычислить: 1) $$\sin\frac{\alpha}{2}$$; 2) $$\cos\frac{\alpha}{2}$$; 3) $$\tan\frac{\alpha}{2}$$; 4) $$\cot\frac{\alpha}{2}$$.

Так как $$\cos \alpha = 0{,}6=\frac35$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{\alpha}{2}$$ тоже острый, значит все искомые значения положительны.

Ход решения

Используем формулы половинного угла:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}.$$

1. Найдём $$\sin\frac{\alpha}{2}$$:

   $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\frac35}{2}=\frac{\frac25}{2}=\frac15,$$

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

2. Найдём $$\cos\frac{\alpha}{2}$$:

   $$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac35}{2}=\frac{\frac85}{2}=\frac45,$$

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac45}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

3. Найдём $$\tg\frac{\alpha}{2}$$:

   $$\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\frac35}{1+\frac35}=\frac{\frac25}{\frac85}=\frac14,$$

   $$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac12.$$

4. Найдём $$\ctg\frac{\alpha}{2}$$:

   $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}}=2.$$

Ответ

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt5}{5}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt5}{5}, \quad \tg\frac{\alpha}{2}=\frac12, \quad \ctg\frac{\alpha}{2}=2.$$