Упр.514 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти числовое значение выражения:

1. $$2\cos^2\frac{\pi}{8}-1$$;
2. $$1-2\sin^2\frac{\pi}{12}$$;
3. $$\frac{\sqrt{3}}{2}+2\sin^2 15$$;
4. $$-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos^2 1$$.

Используем формулы:

$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}, \qquad \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}.$$

1. $$2\cos^2\frac{\pi}{8}-1=2\cdot\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}-1=1+\cos\frac{\pi}{4}-1=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. $$1-2\sin^2\frac{\pi}{12}=1-2\cdot\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}=1-\left(1-\cos\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. $$\frac{\sqrt3}{2}+2\sin^2 15^\circ=\frac{\sqrt3}{2}+2\cdot\frac{1-\cos 30^\circ}{2}=\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac{\sqrt3}{2}=1.$$

4. $$-\frac{\sqrt3}{2}+2\cos^2 15^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}+2\cdot\frac{1+\cos 30^\circ}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}+1+\frac{\sqrt3}{2}=1.$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; 2) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; 3) $$1$$; 4) $$1$$.