Упр.513 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего:

1. $$\sin^2 15^\circ$$;
2. $$\cos^2 \frac{1}{4}$$;
3. $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)$$;
4. $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$.

Используем формулы понижения степени:

$$\sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}, \qquad \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}.$$

1. $$\sin^2 15^\circ=\sin^2 \frac{30^\circ}{2}=\frac{1-\cos 30^\circ}{2}.$$

2. $$\cos^2 \frac14=\cos^2 \frac{1/2}{2}=\frac{1+\cos \frac12}{2}.$$

3. $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{1+\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\right)}{2}=\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)}{2}=\frac{1+\sin 2a}{2}.$$

4. $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{1-\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\right)}{2}=\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)}{2}=\frac{1+\sin 2a}{2}.$$

Ответ:

$$\sin^2 15^\circ=\frac{1-\cos 30^\circ}{2}, \quad \cos^2 \frac14=\frac{1+\cos \frac12}{2}, \quad \cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{1+\sin 2a}{2}, \quad \sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{1+\sin 2a}{2}.$$