Упр.512 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\sin 2x-2\cos x=0$$;
2. $$\cos 2x+\sin^2 x=1$$;
3. $$4\cos x=\sin 2x$$;
4. $$\sin^2 x=-\cos 2x$$;
5. $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=0$$;
6. $$\cos^2\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}$$.

1. $$\sin 2x-2\cos x=0$$

   $$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$

   $$2\cos x(\sin x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

   Но $$\sin x=1$$ является частным случаем уравнения $$\cos x=0$$, поэтому достаточно решить

   $$\cos x=0.$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 2x+\sin^2 x=1$$

   $$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=1$$

   $$\cos^2 x=1$$

   $$\cos x=\pm 1.$$

   Следовательно,

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$4\cos x=\sin 2x$$

   $$4\cos x-2\sin x\cos x=0$$

   $$2\cos x(2-\sin x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=2.$$

   Уравнение $$\sin x=2$$ решений не имеет, поэтому

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin^2 x=-\cos 2x$$

   $$\sin^2 x=-(\cos^2 x-\sin^2 x)$$

   $$\sin^2 x=-\cos^2 x+\sin^2 x$$

   $$\cos^2 x=0$$

   $$\cos x=0.$$

   Значит,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac12=0$$

   Умножим обе части на $$2$$:

   $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+1=0$$

   $$\sin x+1=0$$

   $$\sin x=-1.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos^2\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}$$

   $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=0$$

   $$\cos x=0.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$