Упр.51 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить:

1. 1) $$\sqrt[3]{(x-2)^3}$$ при а) $$x\geq 2$$; б) $$x<2$$;
   2) $$\sqrt{(3-x)^6}$$ при а) $$x\leq 3$$; б) $$x>2$$;
   3) $$\sqrt[4]{(x+6)^4}+\sqrt{(x-3)^2}$$, если $$-12$$;
   4) $$\sqrt[6]{(2x+1)^6}-\sqrt[4]{(4+x)^4}$$, если $$-3

1) $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

Действительно, корень нечётной степени от куба числа равен самому числу, поэтому при любых значениях $$x$$ получаем $$x-2$$.

2) $$\sqrt{(3-x)^6}=\sqrt{\bigl((3-x)^3\bigr)^2}=|3-x|^3.$$

а) Если $$x\le 3$$, то $$|3-x|=3-x$$, значит

$$\sqrt{(3-x)^6}=(3-x)^3.$$

б) Если $$x>3$$, то $$|3-x|=x-3$$, значит

$$\sqrt{(3-x)^6}=(x-3)^3.$$

3) $$\sqrt[4]{(x+6)^4}+\sqrt{(x-3)^2}=|x+6|+|x-3|.$$

При $$-1<x<2$$ имеем $$x+6>0$$ и $$x-3<0$$, поэтому

$$|x+6|=x+6,\qquad |x-3|=3-x.$$

Тогда

$$|x+6|+|x-3|=(x+6)+(3-x)=9.$$

4) $$\sqrt[6]{(2x+1)^6}-\sqrt[4]{(4+x)^4}=|2x+1|-|4+x|.$$

При $$-3<x<-1$$ имеем $$2x+1<0$$ и $$4+x>0$$, значит

$$|2x+1|=-(2x+1)=-2x-1,\qquad |4+x|=4+x.$$

Следовательно,

$$|2x+1|-|4+x|=(-2x-1)-(4+x)=-3x-5.$$

Ответ

1) $$x-2$$; 2) а) $$(3-x)^3$$, б) $$(x-3)^3$$; 3) $$9$$; 4) $$-3x-5$$.