Упр.51 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) корень 3 степени (x-2)3 при а)x > =2; б) x < 2; 2) корень (3-x)6 при а) x < =3; б) x > 2;
3) корень 4 степени (x+6)4 + корень (x-3)2, если -1 < x > 2;
4) корень 6 степени (2x+1)6 — корень 4 степени (4+x)4 если -3 < x < -1.

1. $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

   Так как корень нечётной степени, то выражение под корнем можно вынести без модуля.

   При любом $x$ получаем:

   $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

2. $$\sqrt{(3-x)^6}=\sqrt{\bigl((3-x)^3\bigr)^2}=|(3-x)^3|=|3-x|^3.$$

   а) Если $$x\le 3,$$ то $$|3-x|=3-x,$$ значит

   $$\sqrt{(3-x)^6}=(3-x)^3.$$

   б) Если $$x>3,$$ то $$|3-x|=x-3,$$ значит

   $$\sqrt{(3-x)^6}=(x-3)^3.$$

3. $$\sqrt[4]{(x+6)^4}+\sqrt{(x-3)^2}=|x+6|+|x-3|.$$

   При $$-1<x<2$$ имеем $$x+6>0$$ и $$x-3<0,$$ поэтому

   $$|x+6|=x+6,\qquad |x-3|=3-x.$$

   Тогда

   $$|x+6|+|x-3|=(x+6)+(3-x)=9.$$

4. $$\sqrt[6]{(2x+1)^6}-\sqrt[4]{(4+x)^4}=|2x+1|-|4+x|.$$

   При $$-3<x<-1$$ имеем $$2x+1<0$$ и $$4+x>0,$$ значит

   $$|2x+1|=-(2x+1)=-2x-1,\qquad |4+x|=4+x.$$

   Тогда

   $$|2x+1|-|4+x|=(-2x-1)-(4+x)=-3x-5.$$

Ответ

1) $$x-2$$; 2) а) $$(3-x)^3$$, б) $$(x-3)^3$$; 3) $$9$$; 4) $$-3x-5$$.