Упр.508 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество:
   1) $$\sin 2a=(\sin a+\cos a)^2-1$$;
   2) $$(\sin a-\cos a)^2=1-\sin 2a$$;
   3) $$\cos^4 a-\sin^4 a=\cos 2a$$;
   4) $$2\cos^2 a-\cos 2a=1$$.

1) $$\sin 2a=(\sin a+\cos a)^2-1$$

$$(\sin a+\cos a)^2-1=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1$$
$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)+2\sin a\cos a-1$$
$$=1+\sin 2a-1=\sin 2a$$

Тождество доказано.

2) $$\left(\sin a-\cos a\right)^2=1-\sin 2a$$

$$(\sin a-\cos a)^2=\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a$$
$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)-2\sin a\cos a$$
$$=1-\sin 2a$$

Тождество доказано.

3) $$\cos^4 a-\sin^4 a=\cos 2a$$

$$\cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)$$
$$=\cos 2a\cdot 1=\cos 2a$$

Тождество доказано.

4) $$2\cos^2 a-\cos 2a=1$$

$$2\cos^2 a-\cos 2a=2\cos^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a)$$
$$=\cos^2 a+\sin^2 a=1$$

Тождество доказано.