Упр.508 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin 2а = (sin а + cos а)2 — 1;
2) (sin а — cos а)2 = 1 — sin 2а;
3) cos4 а — sin4 а = cos 2а;
4) 2 cos2 a — cos 2a = 1.

1. Используем формулу двойного угла:

   $$\sin 2a=2\sin a\cos a.$$

   Тогда

   $$ (\sin a+\cos a)^2-1=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1 $$

   $$ =(\sin^2 a+\cos^2 a)+2\sin a\cos a-1 $$

   $$ =1+\sin 2a-1=\sin 2a. $$

2. Раскроем квадрат суммы:

   $$ (\sin a-\cos a)^2=\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a $$

   $$ =(\sin^2 a+\cos^2 a)-\sin 2a $$

   $$ =1-\sin 2a. $$

3. Разность квадратов:

   $$ \cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a). $$

   Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$ а $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$ то

   $$ \cos^4 a-\sin^4 a=\cos 2a\cdot 1=\cos 2a. $$

4. Подставим формулу двойного угла косинуса:

   $$ 2\cos^2 a-\cos 2a=2\cos^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a) $$

   $$ =\cos^2 a+\sin^2 a=1. $$

Ответ

Все четыре тождества доказаны.