Упр.502 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ$$
2. $$\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ$$
3. $$\frac{6\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}$$
4. $$\frac{\tg^2 22^\circ 30′-1}{\tg^2 22^\circ 30′}$$

1. Используем формулу двойного угла:

   $$2\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ=\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$$

2. Применим формулу:

   $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha$$

   Тогда

   $$\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ=\cos 150^\circ=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. Преобразуем выражение, используя формулу двойного угла для тангенса:

   $$\frac{6\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=3\cdot \frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=3\tg 150^\circ$$

   $$3\tg 150^\circ=3\cdot(-\tg 30^\circ)=3\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\sqrt{3}$$

4. Снова используем формулу двойного угла:

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}$$

   Тогда

   $$\frac{\tg^2 22^\circ 30′-1}{\tg^2 22^\circ 30′}=-2\left(\frac{2\tg 22^\circ 30′}{1-\tg^2 22^\circ 30′}\right)^{-1}=-2\cdot(\tg 45^\circ)^{-1}=-2\cdot 1^{-1}=-2$$

Ответ: $$\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\sqrt{3},\ -2$$