Упр.501 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Используем формулу двойного угла:

   $$2\sin \alpha \cos \alpha=\sin 2\alpha.$$

   Тогда

   $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. Используем формулу:

   $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha.$$

   Тогда

   $$\cos^2 \frac{\pi}{8}-\sin^2 \frac{\pi}{8}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

3. Используем формулу:

   $$\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}=\tg 2\alpha.$$

   Тогда

   $$\frac{2\tg \frac{\pi}{8}}{1-\tg^2 \frac{\pi}{8}}=\tg \frac{\pi}{4}=1.$$

4. Раскроем квадрат суммы:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos \frac{\pi}{8}+\sin \frac{\pi}{8}\right)^2$$

   $$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos^2 \frac{\pi}{8}+2\cos \frac{\pi}{8}\sin \frac{\pi}{8}+\sin^2 \frac{\pi}{8}\right)$$

   $$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos^2 \frac{\pi}{8}+\sin^2 \frac{\pi}{8}\right)-2\cos \frac{\pi}{8}\sin \frac{\pi}{8}$$

   $$=\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\sin \frac{\pi}{4}$$

   $$=\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=-1.$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 3) $$1$$; 4) $$-1$$.